نسبت‌های مثلثاتی زاویهٔ $210^{\circ}$ را به دست آورید. انتهای کمان زاویهٔ $210^{\circ}$ در ربع سوم واقع است. در ضمن، اختلاف دو زاویهٔ $210^{\circ}$ و $30^{\circ}$ برابر با $180^{\circ}$ است، یعنی $210^{\circ} = 180^{\circ} + 30^{\circ}$. اگر $\alpha = 30^{\circ}$، آنگاه با توجه به مختصات نقطهٔ $P''$، نسبت‌های مثلثاتی زاویهٔ $210^{\circ}$ عبارت‌اند از:
$$\sin 210^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -y = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$$
$$\cos 210^{\circ} = \dots = -x = \dots$$
$$\tan 210^{\circ} = \frac{\sin 210^{\circ}}{\cos 210^{\circ}} = \dots$$
$$\cot 210^{\circ} = \dots$$
$$\text{قرینهٔ یک نقطه با مختصات } (x, y) \text{ نسبت به مبدأ مختصات نقطه‌ای به مختصات } (-x, -y) \text{ است.}$$
زاویهٔ $210^{\circ}$ در ربع سوم قرار دارد و زاویهٔ مرجع آن $\alpha = 30^{\circ}$ است ($210^{\circ} = 180^{\circ} + 30^{\circ}$). مختصات انتهای کمان آن، قرینهٔ مختصات انتهای کمان $30^{\circ}$ نسبت به مبدأ مختصات است ($P'''(-x, -y)$).
**روابط زوایای $180^{\circ} + \alpha$ (نسبت کاهنده)**:
در ربع سوم، $\tan$ و $\cot$ مثبت، و $\sin$ و $\cos$ منفی هستند.
$$\sin(180^{\circ} + \alpha) = -\sin \alpha$$
$$\cos(180^{\circ} + \alpha) = -\cos \alpha$$
$$\tan(180^{\circ} + \alpha) = \tan \alpha$$
$$\cot(180^{\circ} + \alpha) = \cot \alpha$$
## ۱. محاسبهٔ $\cos 210^{\circ}$
$$\cos 210^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos 210^{\circ} = \mathbf{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \quad \text{و} \quad -x = \mathbf{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$
## ۲. محاسبهٔ $\tan 210^{\circ}$
$$\tan 210^{\circ} = \frac{\sin 210^{\circ}}{\cos 210^{\circ}} = \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{یا } \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\tan 210^{\circ} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{3}}$$
## ۳. محاسبهٔ $\cot 210^{\circ}$
$$\cot 210^{\circ} = \frac{1}{\tan 210^{\circ}} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$
$$\cot 210^{\circ} = \mathbf{\sqrt{3}}$$
